Métodos Numéricos Aplicados a Finanças — Turma 2025

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AULA 1

1 Introdução

Aqui começamos a escrever a introdução do nosso material.

Aqui continuamos

A seguir vamos colocando outros ítens tipográficos

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo Geral

1.1.2 Objetivo Específico

1.1.2.1 Subsubseção

1.1.2.1.1 Parágrafo

1.1.2.1.1.1 Subparágrafo

1.1.2.1.1.1.1 Subsubparágrafo

Um subsubparágrafo é aceito pelo markdown mas não é definido tipograficamente. Normalmente usamos só até o nível 6, que é o subparágrafo.

2 Referencial teórico-empírico

3 Metodologia

Escrevendo uma equação

$$
y = ax^2+bx+c
$$

\[ y = ax^2+bx+c \]

4 Análise de dados e discussão dos resultados

```{r,}

2 + 2

## [1] 4

```

```{r,}

set.seed(1)
.x <- rnorm(10000)
head(.x, 10)

##  [1] -0.6264538  0.1836433 -0.8356286  1.5952808  0.3295078 -0.8204684
##  [7]  0.4874291  0.7383247  0.5757814 -0.3053884

tail(.x, 10)

##  [1]  1.04776175 -0.02428861 -0.47787499 -0.02971747  0.20966546  0.95950757
##  [7]  0.43660362  0.49936656  0.89397983  0.25738706

```

```{r,}

hist(.x, freq = FALSE, col = "yellow", border = "black")

hist(.x, freq = FALSE, col = "lightyellow", border = "gray")
curve(dnorm(x, mean(.x), sd(.x)), xlim = c(min(.x), max(.x)),
    add = TRUE, col = "#4040FFC0", lwd = 2.5)

```

```{r,}

1/2

## [1] 0.5

```

5 Dados do Principles of Econometrics

5.1 Pacote PoEdata_0.1.0.tar.gz

Uma vez instalado o pacote PoEdata_0.1.0.tar.gz

```{r,}

library(PoEdata)

```

```{r,}

library(printr)

## Registered S3 method overwritten by 'printr':
##   method                from     
##   knit_print.data.frame rmarkdown

data(mroz)
head(mroz[, 1:5])

taxableinc	federaltax	hsiblings	hfathereduc	hmothereduc
12200	1494	1	14	16
18000	2615	8	7	3
24000	3957	4	7	10
16400	2279	6	7	12
10000	1063	3	7	7
6295	370	8	7	7

tail(mroz[, 1:5])

	taxableinc	federaltax	hsiblings	hfathereduc	hmothereduc
748	16100	1825	0	7	12
749	32000	4701	8	12	7
750	18500	2720	4	12	12
751	13000	1642	6	7	12
752	17200	2447	2	7	10
753	18700	2327	4	10	7

```

5.2 Pequeno exemplo de programação em R

```{r,warning=FALSE}

library(DescTools)
plotSquare = function(deltay = 1.5, deltax = abs(deltay/Asp()),
    xbase = 12, ybase = 3, col = "#FF808040") {
    polygon(c(0, deltax, deltax, 0, 0) + xbase, c(0, 0, deltay,
        deltay, 0) + ybase, col = col)
}
plotRegressao = function(modelo1 = modelo1, horas = horas, nota = nota,
    sequencia = 5, sub = NULL) {
    # desenho os pontos observados
    plot(horas, nota, pch = 20, col = "darkgray", xlim = c(0,
        14), ylim = c(0, 100), axes = FALSE, sub = "Regressão linear simples",
        xlab = "Horas de estudo", ylab = "Nota na avaliação",
        main = sub)
    # desenho os eixos no (0, 0)
    axis(1, pos = 0)
    axis(2, pos = 0)
    # traça a linha do modelo1 em azul
    if (sequencia > 1)
        abline(modelo1, col = "blue")
    # calcula os pontos sobre a reta
    estimados <- predict(modelo1, horas = horas)
    # desenha os pontos sobre a reta
    if (sequencia > 2)
        points(horas, estimados, pch = 20, col = "blue")
    # desenha as barras de erro (y - ychapéu) e dá nome aos
    # pontos
    delta = 0.3
    if (sequencia > 3) {
        for (i in 1:length(horas)) {
            # desenha as barras de erro verticais
            lines(c(horas[i], horas[i]), c(estimados[i], nota[i]),
                col = "red")
            # desenha as linhas horizontais
            lines(c(horas[i] - delta, horas[i] + delta), c(estimados[i],
                estimados[i]), col = "red")
            lines(c(horas[i] - delta, horas[i] + delta), c(nota[i],
                nota[i]), col = "red")
            # coloca o nome do ponto acima ou abaixo dele
            # conforme a estética
            text(horas[i], nota[i], bquote(y[.(i)]), pos = ifelse(estimados[i] >
                nota[i], 1, 3))
        }
    }
    if (sequencia > 4) {
        for (i in 1:length(horas)) {
            deltay = nota[i] - estimados[i]
            deltax = abs(deltay/Asp())
            if (deltay > 0)
                deltax = -deltax
            plotSquare(xbase = horas[i], ybase = estimados[i],
                deltay = deltay, deltax = deltax)
        }
    }
    text(8, 10, expression(min(Sigma(y[i] - bar(y[i]))^2)), cex = 1.2)
    text(8, 15, "Mínimos quadrados ordinários minimiza o somatório dos quadrados dos erros",
        cex = 0.7)
}

```

```{r,fig.asp=1, fig.cap="Nota na avaliação *versus* horas de estudo", fig.align='center'}

# conjuntos de dados
nota <- c(40, 30, 60, 65, 70, 90)
horas <- c(2, 4, 6, 8, 10, 12)
# função lm (linear model) -> guarda em modelo1
lm(nota ~ horas) -> modelo1
plotRegressao(modelo1, horas, nota, 1, expression("Nuvem de pontos"))

Figure 5.1: Nota na avaliação versus horas de estudo

plotRegressao(modelo1, horas, nota, 2, expression(paste("Reta de regressão: ",
    nota == b[0] + b[1] * horas)))

Figure 5.2: Nota na avaliação versus horas de estudo

plotRegressao(modelo1, horas, nota, 3, expression(paste("Reta de regressão com as estimativas ",
    hat(y))))

Figure 5.3: Nota na avaliação versus horas de estudo

plotRegressao(modelo1, horas, nota, 4, expression(paste("Erros observados: ",
    y - hat(y))))

Figure 5.4: Nota na avaliação versus horas de estudo

plotRegressao(modelo1, horas, nota, 5, expression(paste("Quadrados dos erros: ",
    (y - hat(y))^2)))

Figure 5.5: Nota na avaliação versus horas de estudo

```

```{r,}

modelo1

## 
## Call:
## lm(formula = nota ~ horas)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        horas  
##      21.667        5.357

modelo1$coefficients[1]

## (Intercept) 
##    21.66667

modelo1$coefficients[2]

##    horas 
## 5.357143

```

$$
\widehat{\text{nota}} = b_0+b_1\cdot \text{horas} = 21.6666667+5.3571429\cdot \text{horas}
$$

\[ \widehat{\text{nota}} = b_0+b_1\cdot \text{horas} = 21.6666667+5.3571429\cdot \text{horas} \]

Diagnósticos do modelo

Estatística = testes de hipóteses

Uma hipótese pode ser rejeitada ou não

Existe um valor calculado para cada teste que se chama p.value (p-valor) para o qual existe um valor crítico, normalmente tomado como 0,05 (ou 5%) que chamamos de significância do teste.

Todo teste tem uma hipótese nula (\(H_0\)), se o p-valor for menor que o limite, rejeita-se \(H_0\), se for igual ou maior, aceita-se \(H_0\).

\(H_0\) do teste F: não há relação entre as variáveis.

\(H_0\) do teste t: o coeficiente associado é igual a zero.

```{r,}

summary(nota)

Min.	1st Qu.	Median	Mean	3rd Qu.	Max.
30	45	62.5	59.16667	68.75	90

summary(horas)

Min.	1st Qu.	Median	Mean	3rd Qu.	Max.
2	4.5	7	7	9.5	12

summary(.x)

Min.	1st Qu.	Median	Mean	3rd Qu.	Max.
-3.6713	-0.6733944	-0.0159288	-0.006537	0.6776605	3.810277

summary(modelo1)

## 
## Call:
## lm(formula = nota ~ horas)
## 
## Residuals:
##        1        2        3        4        5        6 
##   7.6190 -13.0952   6.1905   0.4762  -5.2381   4.0476 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)   21.667      8.221   2.636   0.0578 . 
## horas          5.357      1.055   5.076   0.0071 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 8.83 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8656, Adjusted R-squared:  0.832 
## F-statistic: 25.76 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.007102

```

\(R^2\) é a porção de variação da nota que é explicada pelas horas.

Ou seja, aproximadamente 83% da variação da nota é explicada pelas horas de estudo.

```{r,}

x = 1:6 * 10
y = 1:6
plot(x, y)
plotSquare(xbase = 20, ybase = 2, deltay = 0.5)
plotSquare(xbase = 30, ybase = 3, deltay = 1.5, col = "#8080FF40")
plotSquare(xbase = 40, ybase = 4, deltay = -2.5, col = "#80FF8040")
plotSquare(xbase = 50, ybase = 5, deltay = -1.5, col = "#FFFF8040")
abline(c(0, 0.1), col = "darkgray")

```

```{r,}

f = function(x) (x^3 + 8)/(x^4 - 16)
x = seq(-3, -1.0000001, length.out = 100)
y = f(x)
plot(x, y, type = "l")
abline(v = -2, h = -3/8, col = "lightblue")
text(-2.75, -0.4, expression(y == lim(frac(x^3 + 8, x^4 - 16),
    x %->% -2)))
text(-1.75, -0.35, expression(y(-2) == "?"))

f(-2.000000001)

## [1] -0.375

-3/8

## [1] -0.375

```

```{r,}

plot.new()
plot.window(c(0, 4), c(15, 1))
text(1, 1, "universal", adj = 0)
text(2.5, 1, "\\042")
text(3, 1, expression(symbol("\"")))
text(1, 2, "existential", adj = 0)
text(2.5, 2, "\\044")
text(3, 2, expression(symbol("$")))
text(1, 3, "suchthat", adj = 0)
text(2.5, 3, "\\047")
text(3, 3, expression(symbol("'")))
text(1, 4, "therefore", adj = 0)
text(2.5, 4, "\\134")
text(3, 4, expression(symbol("\\")))
text(1, 5, "perpendicular", adj = 0)
text(2.5, 5, "\\136")
text(3, 5, expression(symbol("^")))
text(1, 6, "circlemultiply", adj = 0)
text(2.5, 6, "\\304")
text(3, 6, expression(symbol("\xc4")))
text(1, 7, "circleplus", adj = 0)
text(2.5, 7, "\\305")
text(3, 7, expression(symbol("\xc5")))
text(1, 8, "emptyset", adj = 0)
text(2.5, 8, "\\306")
text(3, 8, expression(symbol("\xc6")))
text(1, 9, "angle", adj = 0)
text(2.5, 9, "\\320")
text(3, 9, expression(symbol("\xd0")))
text(1, 10, "leftangle", adj = 0)
text(2.5, 10, "\\341")
text(3, 10, expression(symbol("\xe1")))
text(1, 11, "rightangle", adj = 0)
text(2.5, 11, "\\361")
text(3, 11, expression(symbol("\xf1")))

```

AULA 2

```{r,}

library(magrittr)

```

6 Regressão linear simples

6.1 Modelo geral

```{r,}

library(PoEdata)
data("cps_small")
plot(cps_small$educ, cps_small$wage, xlab = "education", ylab = "wage")

plot(cps_small$educ, cps_small$wage, xlab = "Educação", ylab = "Renda")

```

```{r,}

head(cps_small, 15)

wage	educ	exper	female	black	white	midwest	south	west
2.03	13	2	1	0	1	0	1	0
2.07	12	7	0	0	1	1	0	0
2.12	12	35	0	0	1	0	1	0
2.54	16	20	1	0	1	0	1	0
2.68	12	24	1	0	1	0	1	0
3.09	13	4	0	0	1	0	1	0
3.16	13	1	0	0	1	0	0	1
3.17	12	22	1	0	1	0	1	0
3.20	12	23	0	0	1	0	1	0
3.27	12	4	1	0	1	0	0	1
3.32	12	11	1	0	1	0	0	1
3.32	13	3	1	0	1	1	0	0
3.34	18	15	0	0	1	1	0	0
3.39	13	7	1	0	1	0	0	0
3.39	12	15	1	0	1	0	0	1

```

```{r,}

plot(cps_small$exper, cps_small$wage, col = "gray", pch = 20)

```

6.2 Example: Food Expenditure versus Income

```{r,}

library(PoEdata)
data(food)
head(food)

food_exp	income
115.22	3.69
135.98	4.39
119.34	4.75
114.96	6.03
187.05	12.47
243.92	12.98

# help(food)

```

```{r,}

data("food", package = "PoEdata")
plot(food$income, food$food_exp)

# Gráfico de dispersão ou scatter plot
plot(food$income, food$food_exp, ylim = c(0, max(food$food_exp)),
    xlim = c(0, max(food$income)), xlab = "weekly income in $100",
    ylab = "weekly food expenditure in $", type = "p")

```

6.3 Estimating a Linear Regression

\[ food\_exp = \beta_0 + \beta_1 income +e\\[1em] \widehat{food\_exp} = \beta_0 + \beta_1 income \]

```{r,}

library(PoEdata)
# roda a regressão
mod1 <- lm(formula = food_exp ~ income, data = food)
# olha os coeficientes
mod1$coefficients

## (Intercept)      income 
##    83.41600    10.20964

# ou
coef(mod1)

## (Intercept)      income 
##    83.41600    10.20964

# um por um
mod1$coefficients[1]

## (Intercept) 
##      83.416

mod1$coefficients[2]

##   income 
## 10.20964

# ou
(b1 <- coef(mod1)[[1]])

## [1] 83.416

(b2 <- coef(mod1)[[2]])

## [1] 10.20964

# mostra o resultado da regressão
smod1 <- summary(mod1)
smod1

## 
## Call:
## lm(formula = food_exp ~ income, data = food)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -223.025  -50.816   -6.324   67.879  212.044 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   83.416     43.410   1.922   0.0622 .  
## income        10.210      2.093   4.877 1.95e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 89.52 on 38 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.385,  Adjusted R-squared:  0.3688 
## F-statistic: 23.79 on 1 and 38 DF,  p-value: 1.946e-05

```

```{r,}

plot(food$income, food$food_exp, xlab = "Renda semanal em $100",
    ylab = "Despesa com comida em $", ylim = c(0, max(food$food_exp)),
    xlim = c(0, max(food$income)), type = "p", col = "lightblue",
    pch = 16, frame.plot = FALSE, axes = FALSE, main = "Despesa com comida versus renda")
axis(1, pos = 0)
axis(2, pos = 0)
# abline(b1,b2)
abline(mod1, col = "blue")
abline(h = b1, col = "darkgray", lty = 2)

```

6.4 Prediction with the Linear Regression Model

Qual a despesa com comida de um indivíduo que ganha $2000 por semana?

\[ \widehat{food\_exp} = 83.416 + 10.210 \cdot income\\ \widehat{food\_exp} = 83.416 + 10.210 \cdot 20\\ \]

```{r,}

coef(mod1)[1] + coef(mod1)[2] * 20

## (Intercept) 
##    287.6089

predict(mod1, data.frame(income = 20))

##        1 
## 287.6089

```

6.5 Repeated Samples to Assess Regression Coefficients

Tecnicamente isso se chama bootstrap e trataremos depois.

6.6 Estimated Variances and Covariance of Regression Coefficients

Será útil mais tarde.

6.7 Non-Linear Relationships

```{r,}

library(PoEdata)
data(br)
# testando uma relação quadrática
mod3 <- lm(formula = price ~ I(sqft^2), data = br)
# versus uma do primeiro grau
mod3.a <- lm(formula = price ~ sqft, data = br)
(summary(mod3) -> s3)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ I(sqft^2), data = br)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -696604  -23366     779   21869  713159 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 5.578e+04  2.890e+03   19.30   <2e-16 ***
## I(sqft^2)   1.542e-02  3.131e-04   49.25   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 68210 on 1078 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6923, Adjusted R-squared:  0.6921 
## F-statistic:  2426 on 1 and 1078 DF,  p-value: < 2.2e-16

(summary(mod3.a) -> s3a)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ sqft, data = br)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -366641  -31399   -1535   25601  932272 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -60861.462   6110.187  -9.961   <2e-16 ***
## sqft            92.747      2.411  38.476   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 79820 on 1078 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5786, Adjusted R-squared:  0.5783 
## F-statistic:  1480 on 1 and 1078 DF,  p-value: < 2.2e-16

# desenhando os dados com as curvas de regressão
plot(br$sqft, br$price, pch = 20, col = "gray")
x = seq(min(br$sqft), max(br$sqft), length.out = 100)
y = predict(mod3, data.frame(sqft = x))
abline(mod3.a, col = "red", lwd = 2)
lines(x, y, col = "blue", lwd = 2)
legend("topleft", legend = c(bquote(paste("Primeiro grau: ",
    R[aj]^2 == .(s3a$adj.r.squared %>%
        round(4)))), bquote(paste("Segundo grau: ", R[aj]^2 ==
    .(s3$adj.r.squared %>%
        round(4))))), cex = 0.8, fill = c("red", "blue"))
grid()

b1 <- coef(mod3)[[1]]
b2 <- coef(mod3)[[2]]
sqftx = c(2000, 4000, 6000)  #given values for sqft
pricex = b1 + b2 * sqftx^2  #prices corresponding to given sqft 
DpriceDsqft <- 2 * b2 * sqftx  # marginal effect of sqft on price
elasticity = DpriceDsqft * sqftx/pricex
b1

## [1] 55776.57

b2

## [1] 0.0154213

DpriceDsqft

## [1]  61.68521 123.37041 185.05562

elasticity  #prints results

## [1] 1.050303 1.631251 1.817408

```

6.7.1 Verificando a variável dependente

```{r,}

hist(br$price)

```

Transformação de variáveis

```{r,}

hist(log(br$price))

```

6.7.2 Transformação logarítmica

```{r,}

plot(br$sqft, log(br$price))

```

6.8 Using Indicator Variables in a Regression

Variável indicadora = dummy

\[ dummy \in \{0, 1\} \]

utown = university town

```{r,}

data(utown)
head(utown)

price	sqft	age	utown	pool	fplace
205.452	23.46	6	0	0	1
185.328	20.03	5	0	0	1
248.422	27.77	6	0	0	0
154.690	20.17	1	0	0	0
221.801	26.45	0	0	0	1
199.119	21.56	6	0	0	1

```

```{r,}

mod5 = lm(price ~ utown, data = utown)
summary(mod5)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ utown, data = utown)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -85.672 -20.359  -0.462  20.646  67.955 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  215.732      1.318  163.67   <2e-16 ***
## utown         61.509      1.830   33.62   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28.91 on 998 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5311, Adjusted R-squared:  0.5306 
## F-statistic:  1130 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

```

Fora de utown preço = 215.732 (215.7324948)

Dentro de utown preço = 215.7324948 + 61.5091064 = 277.2416012

```{r,}

mean(utown[utown$utown == 1, "price"])

## [1] 277.2416

mean(utown[utown$utown == 0, "price"])

## [1] 215.7325

```

```{r,}

library(magrittr)
utown[utown$utown == 1, "price"] %>%
    mean

## [1] 277.2416

utown[utown$utown == 0, "price"] %>%
    mean

## [1] 215.7325

```

6.9 Monte Carlo

Vamos ver depois

7 Chapter 3 Interval Estimation and Hypothesis Testing

7.1 Example: Confidence Intervals in the food Model

```{r,}

library(PoEdata)
data("food")
alpha <- 0.05  # chosen significance level
mod1 <- lm(food_exp ~ income, data = food)
b2 <- coef(mod1)[[2]]
df <- df.residual(mod1)  # degrees of freedom
smod1 <- summary(mod1)
seb2 <- coef(smod1)[2, 2]  # se(b2)
tc <- qt(1 - alpha/2, df)
lowb <- b2 - tc * seb2  # lower bound
upb <- b2 + tc * seb2  # upper bound
c(lowb, b2, upb)

## [1]  5.972052 10.209643 14.447233

```

Tenho 1-significância = 1 - 0.05 = 0.95 = 95% de CONFIANÇA que o valor do coeficiente angular está situado entre 5.9720525 e 14.4472334.

```{r,}

confint(mod1, level = 0.95)

	2.5 %	97.5 %
(Intercept)	-4.463279	171.29528
income	5.972053	14.44723

```

7.2 Bootstrap

Reamostragem

```{r,}

# Travo o gerador de números pseudo-aleatórios
set.seed(1)
# Número de simulações
N = 500  # coloquei 500 para rodar mais rápido, na prática usa-se 2000 ou mais
# Número de elementos na amostra
nrow(br) -> n
# Inicializo vetor de valores
valores = NULL
# loop de reamostragem
for (i in 1:N) {
    # crio amostra de tamanho n com repetição
    sample(1:n, n, replace = TRUE) -> idx
    # faço a regressão
    lm(price ~ I(sqft^2), data = br[idx, ]) -> modb
    # guardo o valor do coeficiente angular
    valores = c(valores, modb$coefficients[2])
}

```

```{r,}

# desenho um histograma com uma curva normal superimposta
# Este esquema de cores é somente um exemplo, adote um
# padrão para todos os gráficos para não ficar um
# 'carnaval'
hist(valores, freq = FALSE, col = "#FFA00080", border = "white")
curve(dnorm(x, mean(valores), sd(valores)), xlim = c(min(valores),
    max(valores)), add = TRUE, col = "darkgreen", lwd = 2)

c(mod3$coefficients[2], mean(valores))

##  I(sqft^2)            
## 0.01542130 0.01535264

# Teste de normalidade (veremos em um futuro próximo)
shapiro.test(sample(valores, min(500, length(valores))))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  sample(valores, min(500, length(valores)))
## W = 0.99399, p-value = 0.04537

```

8 Adendo - ler dados do EXCEL

```{r,}

# file.choose()
library(openxlsx)
read.xlsx("/Users/jfrega/Downloads/DadosTeste.xlsx", sheet = "Planilha1",
    startRow = 1) -> meusDados
plot(meusDados$x, meusDados$y)

lm(y ~ x, meusDados) -> m
m %>%
    summary

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x, data = meusDados)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9643 -1.2054  0.2679  1.1696  1.5000 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   6.6429     1.1198   5.932  0.00102 ** 
## x             2.1071     0.2218   9.502 7.75e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.437 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9377, Adjusted R-squared:  0.9273 
## F-statistic: 90.29 on 1 and 6 DF,  p-value: 7.745e-05

```

9 Adendo — Regressão OLS em Python

#````

```{r,engine="python"}

#
# ATENÇÃO: para rodar este trecho do código é necessário ter o Python instalado e configurado
#
# o comando import do Python é similar ao comando library do R
# statsmodels.formula.api é a interface para os modelos estatísticos
import statsmodels.formula.api as smf
# vou acessar os dados que foram lidos no meu código em R
r.meusDados

##      x     y
## 0  1.0  10.0
## 1  2.0  12.0
## 2  3.0  11.0
## 3  4.0  15.0
## 4  5.0  16.0
## 5  6.0  18.0
## 6  7.0  22.0
## 7  8.0  25.0

# rodo o modelo OLS
model = smf.ols(formula="y~x", data=r.meusDados)
# inspeciono os resultados
print(model.fit().summary())

##                             OLS Regression Results                            
## ==============================================================================
## Dep. Variable:                      y   R-squared:                       0.938
## Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.927
## Method:                 Least Squares   F-statistic:                     90.29
## Date:                Wed, 26 Mar 2025   Prob (F-statistic):           7.75e-05
## Time:                        11:49:58   Log-Likelihood:                -13.102
## No. Observations:                   8   AIC:                             30.20
## Df Residuals:                       6   BIC:                             30.36
## Df Model:                           1                                         
## Covariance Type:            nonrobust                                         
## ==============================================================================
##                  coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
## ------------------------------------------------------------------------------
## Intercept      6.6429      1.120      5.932      0.001       3.903       9.383
## x              2.1071      0.222      9.502      0.000       1.565       2.650
## ==============================================================================
## Omnibus:                        2.183   Durbin-Watson:                   1.522
## Prob(Omnibus):                  0.336   Jarque-Bera (JB):                0.848
## Skew:                          -0.279   Prob(JB):                        0.654
## Kurtosis:                       1.505   Cond. No.                         11.5
## ==============================================================================
## 
## Notes:
## [1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
## 
## /Users/jfrega/Library/r-miniconda-arm64/lib/python3.10/site-packages/scipy/stats/_axis_nan_policy.py:418: UserWarning: `kurtosistest` p-value may be inaccurate with fewer than 20 observations; only n=8 observations were given.
##   return hypotest_fun_in(*args, **kwds)

```

#````

AULA 3

```{r,}

library(magrittr)

```

9.1 Forecasting (Predicting a Particular Value)

```{r,}

library(PoEdata)
data("food")
plot(x = food$income, y = food$food_exp, xlim = c(0, max(food$income)),
    ylim = c(0, max(food$food_exp)), axes = FALSE)
axis(1, pos = 0)
axis(2, pos = 0)
alpha <- 0.05
x <- 20
xbar <- mean(food$income)
ybar <- mean(food$food_exp)
m1 <- lm(formula = food_exp ~ income, data = food)
abline(m1)
points(xbar, ybar, col = "red", pch = 16, cex = 2)
abline(h = ybar, v = xbar, col = "red", lty = 2)
predict(m1, data.frame(income = 20), interval = "confidence",
    level = 0.95)

fit	lwr	upr
287.6089	258.9069	316.3108

predict(m1, data.frame(income = 20), interval = "prediction",
    level = 0.95)

fit	lwr	upr
287.6089	104.1323	471.0854

summary(m1) -> sm1
sm1

## 
## Call:
## lm(formula = food_exp ~ income, data = food)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -223.025  -50.816   -6.324   67.879  212.044 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   83.416     43.410   1.922   0.0622 .  
## income        10.210      2.093   4.877 1.95e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 89.52 on 38 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.385,  Adjusted R-squared:  0.3688 
## F-statistic: 23.79 on 1 and 38 DF,  p-value: 1.946e-05

xx = seq(min(food$income), max(food$income), length.out = 50)
yy = predict(m1, data.frame(income = xx), interval = "prediction",
    level = 1 - 0.05)
lines(xx, yy[, 2], col = "blue", lty = 3)
lines(xx, yy[, 3], col = "blue", lty = 3)

```

\[ \text{food_exp}= b_0+b_1\ \text{income}+e\\ \widehat{\text{food_exp}}= 83.416+10.210\ \text{income} \]

9.2 Goodness-of-Fit

Bondade de ajuste

```{r,}

sm1

## 
## Call:
## lm(formula = food_exp ~ income, data = food)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -223.025  -50.816   -6.324   67.879  212.044 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   83.416     43.410   1.922   0.0622 .  
## income        10.210      2.093   4.877 1.95e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 89.52 on 38 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.385,  Adjusted R-squared:  0.3688 
## F-statistic: 23.79 on 1 and 38 DF,  p-value: 1.946e-05

sm1$r.squared

## [1] 0.3850022

sm1$adj.r.squared

## [1] 0.3688181

sm1$fstatistic

##    value    numdf    dendf 
## 23.78884  1.00000 38.00000

```

9.3 Linear-Log Models

```{r,}

mod2 <- lm(food_exp ~ log(income), data = food)
summary(mod2)

## 
## Call:
## lm(formula = food_exp ~ log(income), data = food)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -215.427  -51.666    2.186   47.819  241.548 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   -97.19      84.24  -1.154    0.256    
## log(income)   132.17      28.80   4.588 4.76e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 91.57 on 38 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3565, Adjusted R-squared:  0.3396 
## F-statistic: 21.05 on 1 and 38 DF,  p-value: 4.76e-05

```

9.4 Residuals and Diagnostics

9.4.1 Normalidade dos resíduos

```{r,}

# resíduos padronizados tem média zero e desvio-padrão um
m1$residuals %>%
    scale -> padres
padres %>%
    hist(freq = FALSE)
curve(dnorm(x, 0, 1), xlim = c(-3, 3), add = TRUE)

```

```{r,}

# teste de Shapiro-Wilk H0: não há desvios da normalidade
# (p > 0.05)
padres %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.98838, p-value = 0.9493

```

```{r,}

library(tseries)

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

library(magrittr)
# Teste de Jarque-Bera H0: não há desvios da normalidade (p
# > 0.05)
padres %>%
    jarque.bera.test()

## 
##  Jarque Bera Test
## 
## data:  .
## X-squared = 0.06334, df = 2, p-value = 0.9688

```

Testes de normalidade funcionam bem para n > 30 e n < 400 (valores empíricos e aproximados).

```{r,}

library(car)

## Loading required package: carData

## 
## Attaching package: 'car'

## The following object is masked from 'package:DescTools':
## 
##     Recode

padres %>%
    qqPlot()

## [1] 31 38

```

```{r,}

set.seed(1)
rexp(20) %>%
    qqPlot

## [1] 14  6

runif(20) %>%
    qqPlot

## [1] 10 18

```

9.5 Teste de forma funcional

Teste RESET de Ramsey

```{r,}

library(lmtest)

## Loading required package: zoo

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

# Teste RESET de Ramsey H0: forma funcional é adequada
reset(m1)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m1
## RESET = 0.066009, df1 = 2, df2 = 36, p-value = 0.9362

```

Forma funcional adequada é que a representação da equação é funcionalmente adequada, ou seja, os termos estão nas potências e funções certas.

```{r,}

set.seed(12)
xx = seq(-3, 3, length.out = 50)
yy = 3 * xx^2 + 2 * rnorm(xx)
plot(xx, yy)

```

```{r,}

mteste = lm(yy ~ xx)
summary(mteste)

## 
## Call:
## lm(formula = yy ~ xx)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.114  -6.409  -3.041   5.847  19.216 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   9.0815     1.1687   7.770  4.9e-10 ***
## xx            0.1050     0.6614   0.159    0.874    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 8.264 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.0005252,  Adjusted R-squared:  -0.0203 
## F-statistic: 0.02522 on 1 and 48 DF,  p-value: 0.8745

```

```{r,}

reset(mteste)

## 
##  RESET test
## 
## data:  mteste
## RESET = 537.61, df1 = 2, df2 = 46, p-value < 2.2e-16

```

O teste RESET rejeitou a forma funcional utilizada.

```{r,}

mteste2 = lm(yy ~ I(xx^2))
reset(mteste2)

## 
##  RESET test
## 
## data:  mteste2
## RESET = 1.2401, df1 = 2, df2 = 46, p-value = 0.2988

```

Opa, agora a forma funcional é adequada, é quadrática!

```{r,}

set.seed(12)
xx = seq(-3, 3, length.out = 50)
yy = 3 * xx^3 + 4 * rnorm(xx)
plot(xx, yy)

```

```{r,}

mteste3 = lm(yy ~ I(xx^3))
reset(mteste3, power = 3)

## 
##  RESET test
## 
## data:  mteste3
## RESET = 0.0016132, df1 = 1, df2 = 47, p-value = 0.9681

summary(mteste3)

## 
## Call:
## lm(formula = yy ~ I(xx^3))
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6.7571 -2.3349 -0.2141  1.9016  8.8388 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.57172    0.49085  -1.165     0.25    
## I(xx^3)      3.04184    0.04533  67.099   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.471 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9895, Adjusted R-squared:  0.9892 
## F-statistic:  4502 on 1 and 48 DF,  p-value: < 2.2e-16

```

```{r,}

plot(xx, yy)
abline((lm(yy ~ xx) -> mteste1), col = "green")
mteste2 = lm(yy ~ I(xx^2))
lines(xx, predict(mteste2, data.frame(xx = xx)), col = "red")
mteste3 = lm(yy ~ I(xx^3))
lines(xx, predict(mteste3, data.frame(xx = xx)), col = "blue")
legend("topleft", legend = c("Grau 1", "Grau 2", "Grau 3"), fill = c("green",
    "red", "blue"), cex = 0.7)

```

```{r,}

mteste1 %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 377.37, df1 = 2, df2 = 46, p-value < 2.2e-16

mteste1$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.96821, p-value = 0.1956

mteste2 %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 0.011796, df1 = 2, df2 = 46, p-value = 0.9883

mteste2$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.94613, p-value = 0.02371

mteste3 %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 0.46335, df1 = 2, df2 = 46, p-value = 0.6321

mteste3$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.96619, p-value = 0.1613

summary(mteste3)

## 
## Call:
## lm(formula = yy ~ I(xx^3))
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6.7571 -2.3349 -0.2141  1.9016  8.8388 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.57172    0.49085  -1.165     0.25    
## I(xx^3)      3.04184    0.04533  67.099   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.471 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9895, Adjusted R-squared:  0.9892 
## F-statistic:  4502 on 1 and 48 DF,  p-value: < 2.2e-16

```

9.6 Heteroskedasticity (Heteroscedasticidade)

```{r,}

plot(m1$model[, 2:1])
abline(m1)

```

```{r,}

# Teste de Breusch-Pagan H0: os dados são homoscedásticos
m1 %>%
    bptest

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  .
## BP = 7.3844, df = 1, p-value = 0.006579

```

O p-valor abaixo de 0.05 rejeitou a H0, ou seja, os dados são heteroscedásticos.

9.7 Modelo log-log

```{r,}

data("newbroiler", package = "PoEdata")
mod.a <- lm(q ~ p, newbroiler)
plot(mod.a$model[, 2:1])
abline(mod.a)

mod.a$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.88678, p-value = 0.0001358

mod.a$residuals %>%
    qqPlot(main = "Resíduos muito ruins")

## [1] 52 50

mod.a %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 41.974, df1 = 2, df2 = 48, p-value = 2.885e-11

# mod.a é inadequado
mod6 <- lm(log(q) ~ log(p), data = newbroiler)
plot(mod6$model[, 2:1])
abline(mod6)

mod6$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.97287, p-value = 0.2787

mod6$residuals %>%
    scale %>%
    hist

mod6$residuals %>%
    qqPlot(main = "Resíduos mais adequados")

## [1] 34 50

mod6 %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 9.0626, df1 = 2, df2 = 48, p-value = 0.0004581

nrow(newbroiler)

## [1] 52

mod6 %>%
    bptest

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  .
## BP = 2.5034, df = 1, p-value = 0.1136

mod6.a <- lm(log(q) ~ I(log(p)^3), data = newbroiler)
mod6.a$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.94107, p-value = 0.01238

mod6.a$residuals %>%
    scale %>%
    hist

mod6.a$residuals %>%
    qqPlot()

## [1] 52 51

mod6.a %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 32.957, df1 = 2, df2 = 48, p-value = 9.816e-10

mod.a.a <- lm(q ~ p + I(p^2) + I(p^3), newbroiler)
# aproximação de terceiro grau
mod.a.a$residuals %>%
    scale %>%
    shapiro.test()

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  .
## W = 0.94371, p-value = 0.01589

mod.a.a$residuals %>%
    scale %>%
    hist

mod.a.a %>%
    reset

## 
##  RESET test
## 
## data:  .
## RESET = 2.6918, df1 = 2, df2 = 46, p-value = 0.07843

```

```{r,}

summary(mod6)

## 
## Call:
## lm(formula = log(q) ~ log(p), data = newbroiler)
## 
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max 
## -0.228363 -0.080077 -0.007662  0.106041  0.218679 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.71694    0.02236   166.2   <2e-16 ***
## log(p)      -1.12136    0.04876   -23.0   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.118 on 50 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9136, Adjusted R-squared:  0.9119 
## F-statistic:   529 on 1 and 50 DF,  p-value: < 2.2e-16

# R^2 generalizado
cor(mod6$fitted.values, log(newbroiler$q))^2

## [1] 0.9136386

```

```{r,}

modelo.linear.newbroiler = lm(q ~ p, data = newbroiler)
modelo.quadratico.newbroiler = lm(q ~ I(p^2), data = newbroiler)
modelo.quadratico.newbroiler %>%
    summary

## 
## Call:
## lm(formula = q ~ I(p^2), data = newbroiler)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -10.128  -5.888  -3.190   6.574  15.670 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   42.415      1.702  24.915  < 2e-16 ***
## I(p^2)        -4.650      0.549  -8.471 3.14e-11 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 7.757 on 50 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5893, Adjusted R-squared:  0.5811 
## F-statistic: 71.75 on 1 and 50 DF,  p-value: 3.138e-11

```

9.8 Overfitting

Sobreajustamento ou overfitting é o fenômeno em que o modelo tem uma complexidade excessiva para explicar o fenômeno, fazendo excelentes previsões para os pontos conhecidos da amostra, mas não conseguindo lidar bem com pontos desconhecidos.

No exemplo a seguir, temos um conjunto de pontos que pode ser adequadamente aproximado por uma reta mas que foi sobreajustado por um polinômio de quarto grau e outro de nono grau.

```{r,fig.asp=1, fig.width=5}

# semente aleatória
set.seed(112)
# 10 valores de x
x = 1:10
# 10 valores de y
y = 2 * x + 2 * rnorm(x)
# regressão por um polinômio de grau 9
lm(y ~ x + I(x^2) + I(x^3) + I(x^4) + I(x^5) + I(x^6) + I(x^7) +
    I(x^8) + I(x^9)) -> m9
# regressão por um polinômio de grau 4
lm(y ~ x + I(x^2) + I(x^3) + I(x^4)) -> m4
# regressão linear
lm(y ~ x) -> m1
# calcula a curva polinomial
xx = seq(-0.3 + min(x), max(x) + 0.2, length.out = 100)
yy = predict(m9, data.frame(x = xx))
yy4 = predict(m4, data.frame(x = xx))
# plota os pontos respeitando os máximos e mínimos da curva
# polinomial
plot(x, y, ylim = c(min(c(0, y, yy, yy4)), max(c(y, yy, yy4)) *
    1.01), xlim = c(min(c(0, x, xx)), max(c(x, xx)) * 1.01),
    xlab = expression(x), ylab = expression(y), pch = 20, col = "#C00000")
# desenha a curva polinomial
lines(xx, yy, col = "red")
lines(xx, yy4, col = "darkgray")
# resenha uma simples reta de regressão
abline(m1, col = "blue")
grid()
legend("topleft", legend = paste("Grau", c(1, 4, 9)), fill = c("blue",
    "darkgray", "red"), cex = 0.7)

```

Percebe-se que no polinômio de grau 9 o ajuste ficará muito ruim para pontos fora da amostra, em especial aqueles que ultrapassarem os limites desta.